2008학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

다음은 $4$이상의 자연수 $n$에 대하여

부등식 $\dfrac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{n!}<1+\dfrac{2n-3}{n(n-1)}$이 성립함을 증명하는 과정이다. (단, $n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1$)

<증명>

$a_n=\dfrac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{n!}$이라 하자.

(i) $n=4$일 때,

(좌변)$=\dfrac{1!+2!+3!+4!}{4!}=\dfrac{33}{24}$,

(우변)$=1+\dfrac5{12}=\dfrac{17}{12}$이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ii) $n=k\;(k\ge4)$일 때, 성립한다고 가정하면

$$a_k<1+\frac{2k-3}{k(k-1)}\text{이다.}$$

$n=k+1$일 때,

$$a_{k+1}=\frac{1!+2!+3!+\cdots+(k+1)!}{(k+1)!}=1+\boxed{\text{(가)}}a_k$$

한편, $(k-1)^2\;\boxed{\text{(나)}}\;2k-3$이므로

$\dfrac{2k-3}{k(k-1)}<\dfrac{k-1}k$이다.

그런데, $1+\dfrac{2k-3}{k(k-1)}<\dfrac{\boxed{\text{(다)}}}k$이므로

$$\begin{aligned}a_{k+1}&<1+\boxed{\text{(가)}}\left\{1+\frac{2k-3}{k(k-1)}\right\}\\&<1+\boxed{\text{(가)}}\frac{\boxed{\text{(다)}}}k\\&=1+\frac{2(k+1)-3}{(k+1)\{(k+1)-1\}}\end{aligned}$$

이다.

그러므로 $n=k+1$일 때도 성립한다.

따라서 (i), (ii)에 의하여 $4$이상의 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]