수열 {an}이 다음 조건을 만족시킨다.
• a1=5
• 2이상의 자연수 n에 대하여
k=1∑nak=54an+2n+3 이다.
다음은 k=1∑5(ak+1+4ak)의 값을 구하는 과정이다.
2이상의 자연수 n에 대하여
an+1=k=1∑n+1ak−k=1∑nak 이므로
an+1=54(an+1−an)+(가) 이고, 이 식을 정리하면
an+1+4an=5×(가)(n≥2) …… ㉠
이다.
k=1∑nak=54an+2n+3(n≥2) 에서 양변에 n=2를 대입하면
a2=(나) …… ㉡
이다. ㉠과 ㉡에 의하여
k=1∑5(ak+1+4ak)=(a2+4a1)+k=2∑5(ak+1+4ak)=(다) 이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 f(n)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q라 할 때, f(2)p+q의 값은? [4점]
