파란띠 5기출문제

2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

수학도장

그림과 같이 가로로 $n$ 개, 세로로 $2$ 개씩 총 $2n$ 개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다.

이 타일 중에서 $3$ 개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일이 이어 붙지 않는 경우와 이어 붙은 경우의 한 예이다.

다음은 $n\ge6$ 일 때, 검은색으로 칠할 타일 $3$ 개를 고르는 경우의 수 $S\left(n\right)$ 을 구하는 과정이다.

첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를 $k$ $\left(k=0,\,1,\,2,\,3\right)$ 이라 하면

(ⅰ) $k=0$ 일 때 둘째 줄에 있는 $n$ 개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 $3$ 개를 고르는 경우의 수는 $\boxed{\,\left(\text{가}\right)\,}$ 이다.

(ⅱ) $k=1$ 일 때 둘째 줄에 있는 $n$ 개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 $2$ 개를 고르는 경우의 수는 ${}_3\mathrm{H}_{n-3}$ 이고, 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 $1$ 개를 고르는 경우의 수는 $\boxed{\,\left(\text{나}\right)\,}$ 이므로, 검은색으로 칠할 타일 $3$ 개를 고르는 경우의 수는 ${}_3\mathrm{H}_{n-3}\times\boxed{\,\left(\text{나}\right)\,}$ 이다.