2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 21번

그림과 같이 중심이 $\mathrm O$이고 반지름의 길이가 $1$인 원의 둘레를 $n\,(n\ge4)$등분한 점을 $\mathrm A_1$, $\mathrm A_2$, $\cdots$, $\mathrm A_n$이라 하자. 호 $\mathrm A_i\mathrm A_{i+1}\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)$을 이등분한 점을 $\mathrm M_i$라 하고 사각형 $\mathrm A_i\mathrm M_i\mathrm A_{i+1}\mathrm N_i$가 마름모가 되도록 하는 선분 $\mathrm{OM}_i$ 위의 점을 $\mathrm N_i$라 하자. $n$개의 사각형 $\mathrm A_1\mathrm M_1\mathrm A_2\mathrm N_1$, $\mathrm A_2\mathrm M_2\mathrm A_3\mathrm N_2$, $\mathrm A_3\mathrm M_3\mathrm A_4\mathrm N_3$, $\cdots$, $\mathrm A_n\mathrm M_n\mathrm A_{n+1}\mathrm N_n$의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n^2\times S_n)$의 값은? (단, $\mathrm A_{n+1}=\mathrm A_1$) [4점]