2009학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 9번

$A^2-A=p(A-E)$이므로

$A^3-A^2=p(A^2-A)=p^2(A-E)$

$A^4-A^3=p^2(A^2-A)=p^3(A-E)$

$\vdots$

$A^n-A^{n-1}=\boxed{\text{(가)}}(A-E)$이다.

따라서 $A^n-A=(p+p^2+p^3+\cdots+p^{n-1})(A-E)$이므로

(ⅰ) $p=1$일 때, $A^n=\boxed{\text{(나)}}A-(n-1)E$

(ⅱ) $p\ne1$일 때, $A^n=\boxed{\text{(다)}}A-\frac1{p-1}(p^n-p)E$이다.