2008학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

그림과 같이 $\triangle\mathrm{ABC}$와 $\triangle\mathrm{CDE}$는 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형이고, $\angle\mathrm{ACE}=\frac23\pi$이다. 반지름의 길이가 $\sqrt3$인 원 $\mathrm P$가 $\triangle\mathrm{ABC}$와 $\triangle\mathrm{CDE}$의 둘레를 외접하면서 시계 방향으로 한 바퀴 돌아 처음 출발한 자리로 왔을 때, 원 $\mathrm P$의 중심이 움직인 거리가 $23+\frac{8\sqrt3}3\pi$이다. $a$의 값은? [4점]