2021학년도 9월 모의평가 수학 영역 가형 28번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 할 때, 호 $\mathrm{AB}$ 위에 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 $\angle\mathrm{POA}=\theta$, $\angle\mathrm{QOB}=2\theta$가 되도록 잡는다. 두 선분 $\mathrm{PB}$, $\mathrm{OQ}$의 교점을 $\mathrm{R}$라 하고, 점 $\mathrm{R}$에서 선분 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{POR}$의 넓이를 $f\left(\theta\right)$, 두 선분 $\mathrm{RQ}$, $\mathrm{RB}$와 호 $\mathrm{QB}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g\left(\theta\right)$라 할 때, $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\dfrac{f\left(\theta\right)+g\left(\theta\right)}{\overline{\mathrm{RH}}}=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\dfrac\pi3$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]