2021학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 26번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $A_1B$를 지름으로 하는 반원 $O_1$이 있다. 호 $BA_1$ 위에 점 $C_1$을 $\angle BA_1C_1=\frac\pi6$가 되도록 잡고, 선분 $A_2B$를 지름으로 하는 반원 $O_2$가 선분 $A_1C_1$과 접하도록 선분 $A_1B$ 위에 점 $A_2$를 잡는다. 반원 $O_2$와 선분 $A_1C_1$의 접점을 $D_1$이라 할 때, 두 선분 $A_1A_2,\ A_1D_1$과 호 $D_1A_2$로 둘러싸인 부분과 선분 $C_1D_1$과 두 호 $BC_1,\ BD_1$로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 호 $BA_2$ 위에 점 $C_2$를 $\angle BA_2C_2=\frac\pi6$가 되도록 잡고, 선분 $A_3B$를 지름으로 하는 반원 $O_3$이 선분 $A_2C_2$와 접하도록 선분 $A_2B$ 위에 점 $A_3$을 잡는다. 반원 $O_3$과 선분 $A_2C_2$의 접점을 $D_2$라 할 때, 두 선분 $A_2A_3,\ A_2D_2$와 호 $D_2A_3$으로 둘러싸인 부분과 선분 $C_2D_2$와 두 호 $BC_2,\ BD_2$로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]