2011학년도 9월 모의평가 수리 영역 나형 12번

그림과 같이 반지름의 길이가 4이고 중심각의 크기가 $\frac\pi4$인 부채꼴 $A_0A_1B_1$이 있다. 점 $A_1$에서 선분 $A_0B_1$에 내린 수선의 발을 $B_2$라 하고, 선분 $A_0A_1$ 위의 $\overline{A_1B_2}=\overline{A_1A_2}$인 점 $A_2$에 대하여 중심각의 크기가 $\frac\pi4$인 부채꼴 $A_1A_2B_2$를 그린다. 점 $A_2$에서 선분 $A_1B_2$에 내린 수선의 발을 $B_3$이라 하고, 선분 $A_1A_2$ 위의 $\overline{A_2B_3}=\overline{A_2A_3}$인 점 $A_3$에 대하여 중심각의 크기가 $\frac\pi4$인 부채꼴 $A_2A_3B_3$을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 $A_n$에서 선분 $A_{n-1}B_n$에 내린 수선의 발을 $B_{n+1}$이라 하고, 선분 $A_{n-1}A_n$ 위의 $\overline{A_nB_{n+1}}=\overline{A_nA_{n+1}}$인 점 $A_{n+1}$에 대하여 중심각의 크기가 $\frac\pi4$인 부채꼴 $A_nA_{n+1}B_{n+1}$을 그린다. 부채꼴 $A_{n-1}A_nB_n$의 호 $A_nB_n$의 길이를 $l_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은? [3점]