[라그랑주 보간법] 알아 두면 좋은 내용
사전 지식
k=1∑nf(k)는 k=1,2,3,…,n일 때의 함숫값을 모두 더한 것이다.
k=1∏nf(k)는 k=1,2,3,…,n일 때의 함숫값을 모두 곱한 것이다. 곱해지는 항 중 하나라도 0이면 그 결과는 0이다.
k=1∏nka=(k=1∏nk)a=(n!)a(a는 자연수)
k=1∏nn=nn
서로 다른 x좌표를 갖는 n개의 점 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)을 지나는 n−1차 이하의 다항함수 f(x)는 라그랑주 보간법에 의해
f(x)=k=1∑n⎩⎨⎧j=1j=k∏n(xk−xjx−xj)yk⎭⎬⎫
로 나타낼 수 있다.
각 항에서 x=xk를 대입하면 그 항의 값은 yk가 되고, i=k인 x=xi를 대입하면 그 항의 값은 0이 된다.
예를 들어 세 점 (3,0),(6,7),(1,2)를 지나는 이차함수 f(x)는
f(x)=(3−6)(3−1)(x−6)(x−1)×0+(6−3)(6−1)(x−3)(x−1)×7+(1−3)(1−6)(x−3)(x−6)×2=32x2−11x+15
이다.
이차함수 f(x)가 세 점 (1,2),(−1,3),(2,1)을 지난다.
서로 다른 x좌표를 갖는 세 점 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)을 지나는 이차함수 f(x)의 식은
f(x)=k=1∑3⎩⎨⎧j=1j=□∏3(□□)yk⎭⎬⎫
이다.
f(3)의 값과 세 빈칸에 들어갈 식을 차례대로 나열한 것으로 옳은 것은? (빈칸은 왼쪽에서 오른쪽으로 읽고, 분수에서는 분자를 먼저 읽는다.)
