합성함수의 미분가능성과 사차함수의 결정

최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0)=\dfrac{1}{4}$인 사차함수 $f(x)$가 있다. 실수 $k$에 대하여 함수 $g(x)$를

라 하자. 함수 $h(x)=(f\circ g)(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

$f(2)=\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)