2009학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 24번

그림과 같이 세 점 $O(0,0)$, $A_1(0,4)$, $A_2(2,0)$으로 이루어진 $\triangle OA_1A_2$에 내접하는 원을 $O_1$이라 하자. $y$축 위의 점 $A_3$이 선분 $A_1A_2$의 기울기와 선분 $A_2A_3$의 기울기의 곱이 $1$이 되도록 하는 점일 때, $\triangle OA_2A_3$에 내접하는 원을 $O_2$라 하자. $x$축 위의 점 $A_4$가 선분 $A_2A_3$의 기울기와 선분 $A_3A_4$의 기울기의 곱이 $1$이 되도록 하는 점일 때, $\triangle OA_3A_4$에 내접하는 원을 $O_3$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 생기는 $\triangle OA_nA_{n+1}$에 내접하는 원을 $O_n$이라 하고, $O_n$의 반지름의 길이를 $r_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty r_n=a-2\sqrt b$ ($a$, $b$는 자연수)이다. $a+b$의 값을 구하시오. [4점]