2009학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 11번

$\angle\mathrm A=60^\circ$, $\angle\mathrm B_1=30^\circ$, $\overline{\mathrm{AC}_1}=6$인 직각삼각형 $\mathrm{AB}_1\mathrm C_1$이 있다. 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$을 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm P_1$이라 하자.

두 선분 $\mathrm{AB}_1$, $\mathrm{AC}_1$의 중점을 각각 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$라 하고, 선분 $\mathrm B_2\mathrm C_2$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm P_2$라 할 때, 네 점 $\mathrm B_2$, $\mathrm P_1$, $\mathrm C_1$, $\mathrm P_2$를 꼭짓점으로 하는 사각형 $\mathrm B_2\mathrm P_1\mathrm C_1\mathrm P_2$를 만든다.

두 선분 $\mathrm{AB}_2$, $\mathrm{AC}_2$의 중점을 각각 $\mathrm B_3$, $\mathrm C_3$이라 하고, 선분 $\mathrm B_3\mathrm C_3$을 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm P_3$이라 할 때, 네 점 $\mathrm B_3$, $\mathrm P_2$, $\mathrm C_2$, $\mathrm P_3$을 꼭짓점으로 하는 사각형 $\mathrm B_3\mathrm P_2\mathrm C_2\mathrm P_3$을 만든다.

두 선분 $\mathrm{AB}_3$, $\mathrm{AC}_3$의 중점을 각각 $\mathrm B_4$, $\mathrm C_4$라 하고, 선분 $\mathrm B_4\mathrm C_4$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm P_4$라 할 때, 네 점 $\mathrm B_4$, $\mathrm P_3$, $\mathrm C_3$, $\mathrm P_4$를 꼭짓점으로 하는 사각형 $\mathrm B_4\mathrm P_3\mathrm C_3\mathrm P_4$를 만든다.

이와 같은 과정을 계속할 때, 사각형 $\mathrm B_{n+1}\mathrm P_n\mathrm C_n\mathrm P_{n+1}$의 넓이를 $S_n\;(n=1,2,3,\cdots)$이라 하자. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [3점]