2014학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 A형 14번

그림과 같이 두 곡선 $y=2^x$과 $y=\left(\frac12\right)^{x-3}$이 만나는 점을 $\mathrm P$라 하고, 직선 $x=\frac52$가 두 곡선 $y=2^x,\;y=\left(\frac12\right)^{x-3}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm A,\;\mathrm B$라 하자.

점 $\mathrm P$의 $x$좌표를 $k$라 하자. 좌표평면 위의 점 $\mathrm Q(x,\;y)$에 대하여 행렬 $M=\begin{pmatrix}x+k&y\\y&-x-k\end{pmatrix}$가 $M^2=E$를 만족시킨다.

점 $\mathrm Q$가 나타내는 도형을 $C$라 할 때, 도형 $C$ 위의 한 점에서 원점 $\mathrm O$까지의 거리의 최댓값은? (단, $E$는 단위행렬이다.) [4점]