2011학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

그림과 같이 중심이 $A(0,\;1)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점 $P_n$과 $x$축 위의 점 $Q_n$은 다음 규칙을 만족한다.

(가) 점 $P_0$은 원점이고, 점 $P_n$은 제$1$사분면의 점이다.

(나) 호 $P_{n-1}P_n$의 길이를 $l_n$이라 할 때, $l_{n+1}=rl_n$이다.

(다) 점 $Q_n$은 점 $B(0,\;2)$와 점 $P_n$을 이은 직선이 $x$축과 만나는 점이다.

$Q_2(2,\;0)$이고 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty l_n=\dfrac8{15}\pi$일 때, 상수 $r$의 값은? [3점]