2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 28번

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위의 원 $x^2+y^2=n$을 $C_n$이라 하고, 직선 $y=\sqrt3x$ 위의 점 중에서 원점 $\mathrm O$로부터 거리가 $n+2$인 점을 $\mathrm P_n$, 점 $\mathrm P_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm Q_n$이라 하자.

삼각형 $\mathrm{P_nOQ_n}$의 내부와 원 $C_n$의 외부의 공통부분의 넓이를 $S_n$이라 하자. $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{S_n}=a$일 때, $3a^2$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm P_n$은 제$1$사분면 위의 점이다.) [4점]