파란띠 5내신형

사차방정식의 유일한 중근

다음은 두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 $x$ 에 대한 사차방정식

x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0

이 오직 하나의 중근을 가질 때, 그 중근이 $1$ 또는 $-1$ 임을 증명한 것이다.

$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ 이라 하고, 방정식 $f(x)=0$ 의 중근을 $\alpha$ 라 하자. $f(0)=1\ne0$ 이므로 $\alpha\ne0$ 이다. $f(x)$ 는 $(x-\alpha)^2$ 으로 나누어떨어지므로 상수 $p$ , $q$ 에 대하여

f(x)=(x-\alpha)^2(x^2+px+q)

로 놓을 수 있다. 양변의 $x^3$ 의 계수, $x$ 의 계수, 상수항을 각각 비교하면

\begin{aligned}a&=p-2\alpha&&\cdots\cdots\text{㉠}\\a&=\alpha^2p-2\alpha q&&\cdots\cdots\text{㉡}\\\alpha^2q&=1&&\cdots\cdots\text{㉢}\end{aligned}

이다. ㉠을 ㉡에 대입한 후 양변에 $\alpha$ 를 곱하고 ㉢을 이용하여 정리하면

(\alpha^2-1)\left\{a\alpha+\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}\right\}=0

이다. $\alpha^2\ne1$ 이라 가정하면 $a\alpha=-\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}$ 이므로 ㉠의 양변에 $\alpha$ 를 곱하면

\alpha p=a\alpha+2\alpha^2=\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}

이다. 따라서 $p=\dfrac{\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}}{\alpha}$ 이고 ㉢에서 $q=\dfrac{1}{\alpha^2}$ 이므로

x^2+px+q=\left\{x-\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}\right\}^2

이고,

f(x)=(x-\alpha)^2\left\{x-\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}\right\}^2

이다. 그런데 $\alpha^2\ne1$ 이면 $\alpha\ne\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}$ 이므로 방정식 $f(x)=0$ 은 서로 다른 두 중근 $\alpha$ , $\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}$ 를 갖는다. 이는 중근이 오직 하나라는 조건에 모순이다. 따라서 $\alpha^2=1$ 이므로 중근은 $1$ 또는 $-1$ 이다.