2019학년도 대학수학능력시험 수학 영역 나형 19번

함수 $f$와 함수 $f\circ f$의 치역을 각각 $A$와 $B$라 하자.

$n(A)=6$이면 함수 $f$는 일대일 대응이고, 함수 $f\circ f$도 일대일 대응이므로 $n(B)=6$이다.

또한 $n(A)\le4$이면 $B\subset A$이므로 $n(B)\le4$이다.

그러므로 $n(A)=5$, 즉 $B=A$인 경우만 생각하면 된다.

(i) $n(A)=5$인 $X$의 부분집합 $A$를 선택하는 경우의 수는 $\boxed{\text{(\char44032 )}}$이다.

(ii) (i)에서 선택한 집합 $A$에 대하여, $X$의 원소 중 $A$에 속하지 않는 원소를 $k$라 하자.

$n(A)=5$이므로 집합 $A$에서 $f(k)$를 선택하는 경우의 수는 $\boxed{\text{(\char45208 )}}$이다.

(iii) (i)에서 선택한 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$와 (ii)에서 선택한 $f(k)$에 대하여, $f(k)\in A$이며 $A=B$이므로

이다. $(*)$을 만족시키는 경우의 수는 집합 $A$에서 집합 $A$로의 일대일 대응의 개수와 같으므로 $\boxed{\text{(\char45796 )}}$이다.

따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $\boxed{\text{(\char44032 )}}\times\boxed{\text{(\char45208 )}}\times\boxed{\text{(\char45796 )}}$이다.