2006학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 13번

[증명]

(i) $n=1$일 때,

$2^3+1$은 $3^2$으로 나누어떨어지므로 ㉠이 성립한다.

(ii) $n=k$일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

$n=k+1$일 때,

에서 $2^{3^k}$은 3으로 나누면 나머지가 $\boxed{\text{(나)}}$이고

$(2^{3^k})^2-2^{3^k}+1$을 3으로 나누면 나머지는 $\boxed{\text{(다)}}$이므로

$2^{3^{k+1}}+1$은 $3^{k+2}$으로 나누어떨어진다.

따라서, $n=k+1$일 때에도 ㉠이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉠이 성립한다.