2020학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

$3\le a+b+c\le18$이므로 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $3$, $4$, $5$, $\cdots$, $18$이다.

$a$, $b$, $c$가 각각 $6$ 이하의 자연수이므로

$7-a$, $7-b$, $7-c$는 각각 $6$ 이하의 자연수이다.

$3\le k\le18$인 자연수 $k$에 대하여

$a+b+c=k$일 확률 $\mathrm P(X=k)$와

$(7-a)+(7-b)+(7-c)=k$일 확률

$\mathrm P(X=3\times\boxed{\text{(가)}}-k)$는 서로 같다.

그러므로 확률변수 $X$의 평균 $\mathrm E(X)$는

이때, 확률질량함수의 성질에 의하여 $\sum_{k=3}^{18}\mathrm P(X=k)=1$이므로

$\sum_{k=3}^{10}\mathrm P(X=k)=\boxed{\text{(다)}}$이다.

따라서 $\mathrm E(X)=\boxed{\text{(나)}}\times\boxed{\text{(다)}}$