2015학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$의 무게중심을 $\mathrm A_2$, 점 $\mathrm A_2$를 지나는 원과 두 변 $\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm A_1\mathrm C_1$의 접점을 각각 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$라 하자. 호 $\mathrm A_2\mathrm B_2$, 선분 $\mathrm B_2\mathrm B_1$, 선분 $\mathrm B_1\mathrm A_2$와 호 $\mathrm A_2\mathrm C_2$, 선분 $\mathrm C_2\mathrm C_1$, 선분 $\mathrm C_1\mathrm A_2$로 둘러싸인 부분인모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2$의 무게중심을 $\mathrm A_3$, 점 $\mathrm A_3$을 지나는 원과 두 변 $\mathrm A_2\mathrm B_2$, $\mathrm A_2\mathrm C_2$의 접점을 각각 $\mathrm B_3$, $\mathrm C_3$이라 하자. 그림 $R_1$에 호 $\mathrm A_3\mathrm B_3$, 선분 $\mathrm B_3\mathrm B_2$, 선분 $\mathrm B_2\mathrm A_3$과 호 $\mathrm A_3\mathrm C_3$, 선분 $\mathrm C_3\mathrm C_2$, 선분 $\mathrm C_2\mathrm A_3$으로 둘러싸인 부분인모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 삼각형 $\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3$의 무게중심을 $\mathrm A_4$, 점 $\mathrm A_4$를 지나는 원과 두 변 $\mathrm A_3\mathrm B_3$, $\mathrm A_3\mathrm C_3$의 접점을 각각 $\mathrm B_4$, $\mathrm C_4$라 하자. 그림 $R_2$에 호 $\mathrm A_4\mathrm B_4$, 선분 $\mathrm B_4\mathrm B_3$, 선분 $\mathrm B_3\mathrm A_4$와 호 $\mathrm A_4\mathrm C_4$, 선분 $\mathrm C_4\mathrm C_3$, 선분 $\mathrm C_3\mathrm A_4$로 둘러싸인 부분인모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림을 $R_n$, 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]