부분분수를 이용한 수열의 극한

자연수 $n$에 대하여 수열 ${S_n}$이 다음과 같이 정의되고, $\displaystyle\alpha = \lim_{n \to \infty} S_n$이라 하자.

자연수 $m = 8\alpha$에 대하여, 열린구간 $(0, \pi)$에서 정의된 함수

의 그래프와 두 직선 $y = \dfrac{1}{2^{m+1}}$, $y = -\dfrac{1}{2^{m+1}}$의 교점의 개수의 합을 $K$라 하자. 또한, 수열 ${C_n}$을

이라 할 때, 극한값 $\displaystyle L = \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{n^2 \sin\left(\dfrac{\pi}{2(2n+1)}\right)}$에 대하여 $p = \dfrac{\pi^2}{16} L$이라 하자. $K \cdot p + 40\alpha$의 값을 구하시오.