첫째항이 1인 수열 {an}에 대하여 Sn=∑k=1nak라 할 때,
n+1Sn+1=k=1∑nSk(n≥1)(∗) 이 성립한다. 다음은 일반항 an을 구하는 과정이다.
주어진 식 (*)에 의하여
nSn=∑k=1n−1Sk(n≥2)㉠
이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면
SnSn+1=n(가)(n≥2) 이다. ㉠으로부터 S2=2이고,
Sn=Sn−1Sn×Sn−2Sn−1×⋯×S2S3×S2(n≥3) 이므로
Sn=n!×(나)(n≥3) 이다. 그러므로 an은
an={12n2−n+1×(n−1)!(n=1,2)(n≥3) 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n), g(n)이라 할 때, f(4)×g(20)의 값은?
[4점]
