초록띠 5기출문제

2009학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 10번

수열 $\{a_n\}$ 이

\begin{cases}a_1=\frac12\\(n+1)(n+2)a_{n+1}=n^2a_n\quad(n=1,2,3,\cdots)\end{cases}

일 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}-\frac n{n+1}\qquad\cdots\text{(*)}

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=1$ 일 때, $\text{(좌변)}=\frac12,\ \text{(우변)}=1-\frac12=\frac12$ 이므로 (*)이 성립한다.

(2) $n=m$ 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

\sum_{k=1}^ma_k=\sum_{k=1}^m\frac1{k^2}-\frac m{m+1}

이다. $n=m+1$ 일 때, (*)이 성립함을 보이자.

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{m+1}a_k&=\sum_{k=1}^m\frac1{k^2}-\frac m{m+1}+a_{m+1}\\&=\sum_{k=1}^m\frac1{k^2}-\frac m{m+1}+\boxed{\text{(가)}}a_m\\&=\sum_{k=1}^m\frac1{k^2}-\frac m{m+1}\\&\quad+\frac{m^2}{(m+1)(m+2)}\cdot\frac{(m-1)^2}{m(m+1)}\cdots\frac{1^2}{2\cdot3}a_1\\&=\sum_{k=1}^m\frac1{k^2}-\frac m{m+1}+\boxed{\text{(나)}}\\&=\sum_{k=1}^m\frac1{k^2}-\frac m{m+1}+\frac1{(m+1)^2}-\boxed{\text{(다)}}\\&=\sum_{k=1}^{m+1}\frac1{k^2}-\frac{m+1}{m+2}\end{aligned}

그러므로 $n=m+1$ 일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 (*)이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점]

\begin{array}{ccc}\underline{\text{(가)}}&\underline{\text{(나)}}&\underline{\text{(다)}}\end{array}

정답률 –풀이 수 –정답 시 +10 Rating

댓글을 불러오는 중…

댓글을 작성하려면 로그인하세요

수학도장

수학 문제를 풀어 레이팅을 쌓고, 직접 만든 문제를 공식 문제로 등록하는 수학 랭크 플랫폼

서비스

채널

유튜브 수학한수공식 시즌전 (예정)

정책