파란띠 4기출문제

2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

다음은 자연수 $n$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{k}{k+1}\times{}_n\mathrm C_k\right)<100$ 을 만족시키는 $n$ 의 최댓값을 구하는 과정이다.

이항정리를 이용하여 $(1+x)^n$ 을 전개하면

(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\left(\boxed{\text{(\char44032 )}}\times x^k\right)\quad\text{…… \char12896 }

위 식의 양변에 $x=1$ 을 대입하면

2^n={}_n\mathrm C_0+{}_n\mathrm C_1+{}_n\mathrm C_2+\cdots+{}_n\mathrm C_n\quad\text{…… \char12897 }

㉠의 양변을 $0$ 에서 $1$ 까지 적분하여

\dfrac{2^{n+1}}{n+1}-\dfrac1{n+1}={}_n\mathrm C_0+\dfrac12{}_n\mathrm C_1+\dfrac13{}_n\mathrm C_2+\cdots+\dfrac1{n+1}{}_n\mathrm C_n\quad\text{…… \char12898 }

을 얻는다.

㉡과 ㉢에서

\begin{aligned}\boxed{\text{(\char45208 )}}+\dfrac1{n+1}&=\dfrac12{}_n\mathrm C_1+\dfrac23{}_n\mathrm C_2+\dfrac34{}_n\mathrm C_3+\cdots+\dfrac n{n+1}{}_n\mathrm C_n\\&=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac k{k+1}\times{}_n\mathrm C_k\right)\end{aligned}

이므로 부등식 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac k{k+1}\times{}_n\mathrm C_k\right)<100$ 을 만족시키는 $n$ 의 최댓값은

\boxed{\text{(\char45796 )}}

이다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식에 대하여 $k=1$ 일 때의 식을 $f(n)$ , (나)에 알맞은 식을 $g(n)$ , (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(6)\times g(5)+p$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +14 Rating

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