2014학년도 대학수학능력시험 수학 영역 A형 10번

단면의 반지름의 길이가 $R\ (R<1)$인 원기둥 모양의 어느 급수관에 물이 가득 차 흐르고 있다. 이 급수관의 단면의 중심에서의 물의 속력을 $v_c$, 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 $x\ (0<x\le R)$만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력을 $v$라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

(단, $k$는 양의 상수이고, 길이의 단위는 m, 속력의 단위는 m/초이다.)

$R<1$인 이 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 $R^{\frac{27}{23}}$만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력의 $\frac12$일 때, 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 $R^a$만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력의 $\frac13$이다. $a$의 값은? [3점]