행렬 조건을 만족시키는 포물선 위의 점

점 $\mathrm{C}(a,b)$는

를 만족시킨다. 양수 $t$에 대하여, 곡선 $y=\dfrac12x^2$ 위의 점 $\mathrm{M}(m,n)$ 중

를 만족시키는 직선 $y=tx$ 위의 점 $\mathrm{P}(p,q)$와 양수 $k$가 존재하는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 이때 $E$는 단위행렬이고, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

$g(t)=4$일 때, 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 $S(t)$라 하자. $(a-b)\times\displaystyle\lim_{t\to1-}\{S(t)\}^2$의 값을 구하시오.