소수 번째 눈의 합과 곱

정십이면체 모양의 주사위(각 면에 $1$부터 $12$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있다)를 $15$번 던져 $n$번째 나온 눈의 수를 $a_n$ $(n=1,\,2,\,\cdots,\,15)$이라 하자.

조건 (가), (나), (다)를 만족시키는 순서쌍 $(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_{15})$의 개수를 구하시오. [4점]