2018학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번

그림과 같이 세 점 $\mathrm A(0,4)$, $\mathrm B(-3,0)$, $\mathrm C(4,-3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm P$를 지나고 직선 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm Q$, 점 $\mathrm P$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm R$, 점 $\mathrm Q$를 지나고 직선 $\mathrm{AC}$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm S$라 하자.

사다리꼴 $\mathrm{PRSQ}$의 넓이의 최댓값이 $\dfrac qp$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\overline{\mathrm{AP}}<\overline{\mathrm{PC}}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]