다음은 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 \frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(n+1)!} 가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. 자연수 n 에 대하여 a_n=\frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(n+1)!} 이라 할 때, a_n (1) n=1 일 때, a_1=\frac{1!}{2!}=\frac12 (2) n=k 일 때, a_k n=k+1 일 때, a_{k+1}=\frac{1!+2!+3!+\cdots+(k+1)!}{(k+2)!} =\boxed{\text{(가)}}(1+a_k) 이다. 자연수 k 에 대하여…

초록띠 4기출문제

2008학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 나형 14번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

\frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(n+1)!}<\frac2{n+1}

가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

자연수 $n$ 에 대하여

a_n=\frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(n+1)!}

이라 할 때, $a_n<\frac2{n+1}$ 임을 보이면 된다.

(1) $n=1$ 일 때, $a_1=\frac{1!}{2!}=\frac12<1$ 이므로 주어진 부등식은 성립한다.

(2) $n=k$ 일 때, $a_k<\frac2{k+1}$ 라고 가정하면

$n=k+1$ 일 때,

a_{k+1}=\frac{1!+2!+3!+\cdots+(k+1)!}{(k+2)!}

=\boxed{\text{(가)}}(1+a_k)

<\boxed{\text{(가)}}\left(1+\frac2{k+1}\right)

=\frac1{k+2}+\boxed{\text{(나)}}

이다.

자연수 $k$ 에 대하여 $\frac2{k+1}\le1$ 이므로

$\boxed{\text{(나)}}\le\frac1{k+2}$ 이고 $a_{k+1}<\frac2{k+2}$ 이다.

따라서 $n=k+1$ 일 때도 주어진 부등식은 성립한다. 그러므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점]

$\begin{array}{cc}\underline{\text{(가)}}\quad&\quad\underline{\text{(나)}}\end{array}$

#수학적 귀납법 #6월 모의평가 #3점 #2008학년도 #2007년 시행

정답률 –풀이 수 –정답 시 +9 Rating

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