2009학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 공통 17번

한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $ABCD$가 있다. 그림과 같이 정사각형 $ABCD$ 안에 두 점 $A$, $B$를 각각 중심으로 하고 변 $AB$를 반지름으로 하는 $2$개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 $A_1B_1C_1D_1$이라 하자. 정사각형 $A_1B_1C_1D_1$ 안에 두 점 $A_1$, $B_1$을 각각 중심으로 하고 변 $A_1B_1$을 반지름으로 하는 $2$개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 $A_2B_2C_2D_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 정사각형 $A_nB_nC_nD_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^\infty S_n$의 값은? [4점]