2018학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{AB}_1\mathrm C_1\mathrm D_1$ 안에 꼭짓점 $\mathrm C_1$을 중심으로 하고 선분 $\mathrm C_1\mathrm B_1$을 반지름으로 하는 사분원을 그린다. 호 $\mathrm B_1\mathrm D_1$을 이등분하는 점을 $\mathrm C_2$라 하고 삼각형 $\mathrm C_2\mathrm B_1\mathrm D_1$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{AB}_1$ 위의 점 $\mathrm B_2$, 선분 $\mathrm{AD}_1$ 위의 점 $\mathrm D_2$와 두 점 $\mathrm A$, $\mathrm C_2$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm{AB}_2\mathrm C_2\mathrm D_2$를 그리고, 정사각형 $\mathrm{AB}_2\mathrm C_2\mathrm D_2$ 안에 꼭짓점 $\mathrm C_2$를 중심으로 하고 선분 $\mathrm C_2\mathrm B_2$를 반지름으로 하는 사분원을 그린다. 호 $\mathrm B_2\mathrm D_2$를 이등분하는 점을 $\mathrm C_3$이라 하고 삼각형 $\mathrm C_3\mathrm B_2\mathrm D_2$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]