밤띠 3기출문제

2005학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

반지름의 길이가 $r$ 인 원 내부의 한 점을 $\mathrm P$ , 선분 $\mathrm{OP}$ ( $\mathrm O$ 는 원의 중심)의 $\mathrm P$ 방향으로의 연장선 위에 $\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OQ}}=r^2$ 이 성립하는 점을 $\mathrm Q$ 라 하자. 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중점을 $\mathrm R$ 이라 할 때, $\mathrm R$ 의 위치가 원의 외부에 있음을 증명한 것이다.

<증명1>

점 $\mathrm R$ 이 원의 내부에 있다고 가정할 때,

점 $\mathrm R$ 을 지나고 선분 $\mathrm{PQ}$ 에 수직인 현을 $\mathrm{ST}$ 라고 하자.

$\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OR}}-\overline{\mathrm{RP}},\quad\overline{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{(가)}}$

따라서

\begin{aligned}r^2&=\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OQ}}=(\overline{\mathrm{OR}}-\overline{\mathrm{RP}})\boxed{\text{(가)}}\\&=\overline{\mathrm{OR}}^2-\overline{\mathrm{RP}}^2\\&=\boxed{\text{(나)}}-(\overline{\mathrm{PS}}^2-\overline{\mathrm{RS}}^2)\\&=r^2-\overline{\mathrm{PS}}^2\end{aligned}

그러므로 선분 $\mathrm{PS}$ 의 길이는 $0$ 이다.

이것은 점 $\mathrm P$ 와 $\mathrm S$ 는 같은 점이라는 뜻이고, 점 $\mathrm P$ 가 원 내부의 점이라는 사실에 모순이다.

따라서 점 $\mathrm R$ 은 원 밖의 점이다.

<증명2>

\overline{\mathrm{OR}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OP}}+\overline{\mathrm{OQ}}}{2}>\boxed{\text{(다)}}

따라서 $\overline{\mathrm{OR}}>r$ 이므로 점 $\mathrm R$ 은 원 밖의 점이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$\overline{\mathrm{OR}}+\overline{\mathrm{RP}}$	$r^2+\overline{\mathrm{RS}}^2$	$\sqrt{\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}}$
②	$\overline{\mathrm{OR}}+\overline{\mathrm{RP}}$	$r^2-\overline{\mathrm{RS}}^2$	$\sqrt{\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OQ}}}$
③	$\overline{\mathrm{OR}}+\overline{\mathrm{RQ}}$	$r^2+\overline{\mathrm{RS}}^2$	$\sqrt{\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OR}}}$
④	$\overline{\mathrm{OR}}+\overline{\mathrm{RQ}}$	$r^2+\overline{\mathrm{RS}}^2$	$\sqrt{\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OQ}}}$
⑤	$\overline{\mathrm{OR}}+\overline{\mathrm{RQ}}$	$r^2-\overline{\mathrm{RS}}^2$	$\sqrt{\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OR}}}$

#도형의 방정식 #추론·증명 #4점 #6월 학력평가 #피타고라스정리 #2005학년도 #2005년 시행 #교육청

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