2005학년도 대학수학능력시험 예비평가 수리 영역 나형 12번

그림과 같이 두 직선 $y=2x$와 $y=\frac12x$가 있다.

$y=2x$ 위의 점 $A_1(1,2)$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 $y=\frac12x$와 만나는 점을 $B_1$이라 하자. $B_1$을 지나고 직선 $y=x$와 수직인 직선이 $y=2x$와 만나는 점을 $A_2$라 하자. $A_2$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 $y=\frac12x$와 만나는 점을 $B_2$라 하자. 이와 같은 방법으로 점 $A_3,B_3,A_4,B_4,\cdots,A_n,B_n,\cdots$을 정할 때, 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\overline{A_nB_n}}$의 합은? [4점]