2018학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 27번

자연수 $n$에 대하여 점 $(4n,3n)$을 중심으로 하고, $x$축에 접하는 원 $C_n$이 있다. 원 $C_n$ 위의 점 $\mathrm P$에 대하여 선분 $\mathrm{OP}$의 길이가 자연수가 되도록 하는 점 $\mathrm P$의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm O$는 원점이다.) [4점]