2011학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 문과 22번

그림과 같이 직선 $y=\dfrac23$가 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=\log_b x$와 만나는 점을 각각 $\mathrm P,\mathrm Q$라 하자. 점 $\mathrm P$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=\log_b x$와 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm A,\mathrm B$라 하고, 점 $\mathrm Q$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=\log_a x$와 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm C,\mathrm D$라 하자.

$\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{AB}}$이고, 사각형 $\mathrm{PAQC}$의 넓이가 $1$일 때, 두 상수 $a,b$의 곱 $ab$의 값은? (단, $1<a<b$이다.) [4점]