2017학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 18번

양수 $k$에 대하여 이차함수 $y=-\frac{x^2}2+k$의 그래프와 직선 $y=mx$가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\mathrm A$, $\mathrm B$라 하자. 다음은 실수 $m$의 값에 관계없이 $\frac1{\overline{\mathrm{OA}}}+\frac1{\overline{\mathrm{OB}}}$이 일정한 값을 갖기 위한 $k$의 값을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm O$는 원점이다.)

두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$($\alpha<0<\beta$)라 하면 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $-\frac{x^2}2+k=mx$의 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta=-2m$, $\alpha\beta=-2k$

두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$는 직선 $y=mx$ 위의 점이므로 $\mathrm A(\alpha,\,m\alpha)$, $\mathrm B(\beta,\,m\beta)$

실수 $m$의 값에 관계없이 $\frac1{\overline{\mathrm{OA}}}+\frac1{\overline{\mathrm{OB}}}$이 갖는 일정한 값을 $t$라 하자.

이므로 이를 정리하면 $4(1-k^2t^2)m^2+4(2k-k^2t^2)=0\;\cdots\;\char"3260$

따라서 ㉠이 $m$에 대한 항등식이므로 $k=\boxed{\text{(다)}}$이다.

이때 $\frac1{\overline{\mathrm{OA}}}+\frac1{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac1k$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$, $g(k)$라 하고 (다)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f(p)\times g(p)$의 값은? [4점]