2010학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 $1$보다 큰 양수 $a$에 대하여 지수함수 $y=a^x$의 그래프 위의 점 $\mathrm A$와 로그함수 $y=\log_a x$의 그래프 위의 점 $\mathrm B$가 제$1$사분면 위에 있다. 점 $\mathrm A$의 $x$좌표가 $2$일 때, $\triangle\mathrm{OAB}$가 정삼각형이 되도록 하는 $a$의 값은? (단, $\mathrm O$는 원점이다.)

[4점]