2008학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 24번

그림과 같이 한 변의 길이가 $10$인 정사각형 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

변 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$, $\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$, $\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$, $\mathrm{D}_1\mathrm{A}_1$의 중점을 각각 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{Q}_1$, $\mathrm{R}_1$, $\mathrm{T}_1$이라 하고, 선분 $\mathrm{A}_1\mathrm{Q}_1$, $\mathrm{B}_1\mathrm{R}_1$의 교점을 $\mathrm{A}_2$, 선분 $\mathrm{B}_1\mathrm{R}_1$, $\mathrm{C}_1\mathrm{T}_1$의 교점을 $\mathrm{B}_2$, 선분 $\mathrm{C}_1\mathrm{T}_1$, $\mathrm{D}_1\mathrm{P}_1$의 교점을 $\mathrm{C}_2$, 선분 $\mathrm{D}_1\mathrm{P}_1$, $\mathrm{A}_1\mathrm{Q}_1$의 교점을 $\mathrm{D}_2$라 할 때, 사각형 $\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$의 넓이를 $S_2$라 하자.

변 $\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2$, $\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$, $\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$, $\mathrm{D}_2\mathrm{A}_2$의 중점을 각각 $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{Q}_2$, $\mathrm{R}_2$, $\mathrm{T}_2$라 하고, 선분 $\mathrm{A}_2\mathrm{Q}_2$, $\mathrm{B}_2\mathrm{R}_2$의 교점을 $\mathrm{A}_3$, 선분 $\mathrm{B}_2\mathrm{R}_2$, $\mathrm{C}_2\mathrm{T}_2$의 교점을 $\mathrm{B}_3$, 선분 $\mathrm{C}_2\mathrm{T}_2$, $\mathrm{D}_2\mathrm{P}_2$의 교점을 $\mathrm{C}_3$, 선분 $\mathrm{D}_2\mathrm{P}_2$, $\mathrm{A}_2\mathrm{Q}_2$의 교점을 $\mathrm{D}_3$이라 할 때, 사각형 $\mathrm{A}_3\mathrm{B}_3\mathrm{C}_3\mathrm{D}_3$의 넓이를 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 사각형 $\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n\mathrm{D}_n$의 넓이를 $S_n$이라 하자. 이때, $\sum\limits_{n=1}^\infty S_n$의 값을 구하시오. [3점]