초록띠 2기출문제

2015학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 B형 29번

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 $S,S_1,S_2,S_3$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $S$ 의 반지름의 길이는 3이고, $S_1,S_2,S_3$ 의 반지름의 길이는 1이다.

(나) $S_1,S_2,S_3$ 은 모두 $S$ 에 접한다.

(다) $S_1$ 은 $S_2$ 와 접하고, $S_2$ 는 $S_3$ 과 접한다.

$S_1,S_2,S_3$ 의 중심을 각각 $O_1,O_2,O_3$ 이라 하자. 두 점 $O_1,O_2$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 평면을 $\beta$ , 두 점 $O_2,O_3$ 을 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 평면이 $S_3$ 과 만나서 생기는 단면을 $D$ 라 하자. 단면 $D$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이를 $\frac qp\pi$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)