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음이 아닌 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)f(x)f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 0≤x≤40\leq x\leq40≤x≤4인 모든 실수 xxx에 대하여 f(x)2=2∫0x16−f(t)2 dt\displaystyle f(x)^2=2\int_0^x\sqrt{16-f(t)^2}\,dtf(x)2=2∫0x16−f(t)2dt이다.
(나) 함수 f(x)f(x)f(x)는 구간 [4,∞)[4,\infty)[4,∞)에서 미분가능하고, 444 이상인 모든 실수 xxx에 대하여 f′(x)≤1f'(x)\leq1f′(x)≤1이고 (x−4)2+{f(x)−(4+42)}2≥42\sqrt{(x-4)^2+\{f(x)-(4+4\sqrt{2})\}^2}\geq4\sqrt{2}(x−4)2+{f(x)−(4+42)}2≥42이다.
∫06+42f(x) dx\displaystyle\int_0^{6+4\sqrt{2}}f(x)\,dx∫06+42f(x)dx의 최댓값을 구하시오.
