27. 그림과 같이 $\overline{AB_1}=1,\ \overline{B_1C_1}=2$인 직사각형 $AB_1C_1D_1$이 있다. $\angle AD_1C_1$을 삼등분하는 두 직선이 선분 $B_1C_1$과 만나는 점 중 점 $B_1$에 가까운 점을 $E_1$, 점 $C_1$에 가까운 점을 $F_1$이라 하자. $\overline{E_1F_1}=\overline{F_1G_1},\ \angle E_1F_1G_1=\frac\pi2$이고 선분 $AD_1$과 선분 $F_1G_1$이 만나도록 점 $G_1$을 잡아 삼각형 $E_1F_1G_1$을 그린다. 선분 $E_1D_1$과 선분 $F_1G_1$이 만나는 점을 $H_1$이라 할 때, 두 삼각형 $G_1E_1H_1,\ H_1F_1D_1$로 만들어진 번개 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $AB_1$ 위의 점 $B_2$, 선분 $E_1G_1$ 위의 점 $C_2$, 선분 $AD_1$ 위의 점 $D_2$와 점 $A$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{AB_2}:\overline{B_2C_2}=1:2$인 직사각형 $AB_2C_2D_2$를 그린다. 직사각형 $AB_2C_2D_2$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 번개 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]