2 이상의 자연수 n에 대하여 1≤a<b≤n, 1≤c<d≤n을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선 x=a, x=b, y=c, y=d로 둘러싸인 직사각형의 둘레의 길이가 2n이 되도록 자연수 a, b, c, d를 택한다.
다음은 b−a의 값을 확률변수 X라 할 때 E(X)=2n임을 보이는 과정이다.
확률변수 X가 가질 수 있는 가장 작은 값은 1, 가장 큰 값은 (가 )이다.
X=k일 때, b−a=k이므로 1≤a≤n−k이고,
d−c=n−k이므로 1≤c≤(나 )이다.
그러므로 P(X=k)=i=1∑(가 )(n−i)×i(n−k)×(나 )이다.
따라서
E(X)=k=1∑(가 ){k×P(X=k)}=(다 )6k=1∑(가 ){k×(n−k)×(나 )}=2n 이다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n), g(k), h(n)이라 할 때, f(8)×g(6)h(7)의 값은? [4점]
