2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

$n(S_1)=k\;(3\le k\le10,\;k\text{\char45716 \char51088 \char50672 \char49688 })$인 집합 $S_1$의 개수는 전체집합 $U$의 원소 $10$개 중 서로 다른 $k$개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 ${}_{10}\mathrm C_k$이다.

또한 $S_1\subset S_2\subset S_3$이므로 집합 $S_1$에 속하지 않는 원소는 세 집합 $S_2-S_1$, $S_3-S_2$, $U-S_3$ 중 어느 한 집합에 속해야 한다.

그러므로 $n(S_1)=k$일 때 집합 $S_1$, $S_2$, $S_3$의 순서쌍 $(S_1,S_2,S_3)$의 개수는 ${}_{10}\mathrm C_k\times\boxed{\text{(\char44032 )}}$이다.

따라서 $n(S_1)\ge3$, $S_1\subset S_2\subset S_3$을 만족시키는 순서쌍 $(S_1,S_2,S_3)$의 개수는 이항정리에 의하여