2016학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm O(0,0)$, $\mathrm A(18,0)$, $\mathrm B(18,18)$, $\mathrm C(0,18)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm{OABC}$에 대하여 점 $(9,9)$를 지나고 $x$축과 만나는 세 직선 $l$, $m$, $n$이 정사각형 $\mathrm{OABC}$의 넓이를 6등분한다.

직선 $l$의 $x$절편을 $a$라 하고 $6\le a\le10$일 때, 두 직선 $m$과 $n$의 기울기의 곱의 최댓값은 $\alpha$, 최솟값은 $\beta$이다.

$\alpha^2+\beta^2=\dfrac qp$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]