2023학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 18번

$P(x)=4x^4-4(n+2)x^2+(n-2)^2$이라 하자.

$x^2=X$라 하면 주어진 방정식 $P(x)=0$은

$4X^2-4(n+2)X+(n-2)^2=0$이고

근의 공식에 의해 $X=\frac{n+2\pm\sqrt{\boxed{\text{(가)}}}}2$이다.

그러므로 $X=\left(\sqrt{\frac n2}+1\right)^2$ 또는 $X=\left(\sqrt{\frac n2}-1\right)^2$에서

$x=\sqrt{\frac n2}+1$ 또는 $x=-\sqrt{\frac n2}-1$ 또는 $x=\sqrt{\frac n2}-1$ 또는 $x=-\sqrt{\frac n2}+1$이다.

방정식 $P(x)=0$이 정수해를 갖기 위해서는 $\sqrt{\frac n2}$이 자연수가 되어야 한다.

따라서 자연수 $n$에 대하여 방정식 $P(x)=0$이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 $20$ 이하의 모든 $n$의 값은 $\boxed{\text{(나)}}$, $\boxed{\text{(다)}}$이다.