2017학년도 대학수학능력시험 수학 영역 나형 17번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 $O$가 있다. 원의 중심을 $\mathrm C$라 하고, 선분 $\mathrm{AC}$의 중점과 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 각각 $\mathrm D$, $\mathrm P$라 하자. 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선과 선분 $\mathrm{BC}$의 수직이등분선이 원 $O$의 위쪽 반원과 만나는 점을 각각 $\mathrm E$, $\mathrm Q$라 하자. 선분 $\mathrm{DE}$를 한 변으로 하고 원 $O$와 점 $\mathrm A$에서 만나며 선분 $\mathrm{DF}$가 대각선인 정사각형 $\mathrm{DEFG}$를 그리고, 선분 $\mathrm{PQ}$를 한 변으로 하고 원 $O$와 점 $\mathrm B$에서 만나며 선분 $\mathrm{PR}$가 대각선인 정사각형 $\mathrm{PQRS}$를 그린다. 원 $O$의 내부와 정사각형 $\mathrm{DEFG}$의 내부의 공통부분인 모양의 도형과 원 $O$의 내부와 정사각형 $\mathrm{PQRS}$의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 점 $\mathrm F$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\dfrac12\overline{\mathrm{DE}}$인 원 $O_1$, 점 $\mathrm R$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\dfrac12\overline{\mathrm{PQ}}$인 원 $O_2$를 그린다. 두 원 $O_1$, $O_2$에 각각 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 $2$개의 도형과 모양의 $2$개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]