2011학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 15번

그림과 같이 $\overline{PQ}=\overline{PR}=2$이고 $\angle QPR=90^{\circ}$인 삼각형 $PQR$의 내접원과 세 변 $PQ$, $QR$, $RP$의 접점을 각각 $P_1$, $Q_1$, $R_1$이라 하자. 또, 삼각형 $PP_1R_1$의 내접원과 세 변 $PP_1$, $P_1R_1$, $R_1P$의 접점을 각각 $P_2$, $Q_2$, $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 세 점 $P_n$, $Q_n$, $R_n$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_nQ_nR_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n=p+q\sqrt2$를 만족시키는 두 유리수 $p$, $q$의 합 $p+q$의 값은? [4점]