2014학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 17번

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$에서 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm P_1$, 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$을 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm Q_1$이라 하자. 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$ 위의 점 $\mathrm A_2$, 선분 $\mathrm P_1\mathrm Q_1$ 위의 두 점 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$, 선분 $\mathrm C_1\mathrm D_1$ 위의 점 $\mathrm D_2$를 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$를 그리고 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$의 내부와 삼각형 $\mathrm P_1\mathrm B_1\mathrm Q_1$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$에서 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm P_2$, 선분 $\mathrm B_2\mathrm C_2$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm Q_2$라 하자. 선분 $\mathrm A_2\mathrm D_2$ 위의 점 $\mathrm A_3$, 선분 $\mathrm P_2\mathrm Q_2$ 위의 두 점 $\mathrm B_3$, $\mathrm C_3$, 선분 $\mathrm C_2\mathrm D_2$ 위의 점 $\mathrm D_3$을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3\mathrm D_3$을 그리고 정사각형 $\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3\mathrm D_3$의 내부와 삼각형 $\mathrm P_2\mathrm B_2\mathrm Q_2$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]