2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D$가 있다. 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D$의 두 대각선의 교점을 $\mathrm B_2$라 하고, 점 $\mathrm B_2$에서 두 변 $\mathrm A_1\mathrm D$, $\mathrm C_1\mathrm D$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm C_2$라 하자.

점 $\mathrm B_2$를 지나고 두 변 $\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm B_1\mathrm C_1$에 동시에 접하는 원을 $O_1$이라 하고, 원 $O_1$이 두 변 $\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm B_1\mathrm C_1$에 접하는 점을 각각 $\mathrm P_1$, $\mathrm Q_1$이라 할 때, 삼각형 $\mathrm B_2\mathrm P_1\mathrm Q_1$의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D$의 두 대각선의 교점을 $\mathrm B_3$이라 하고, 점 $\mathrm B_3$에서 두 변 $\mathrm A_2\mathrm D$, $\mathrm C_2\mathrm D$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm A_3$, $\mathrm C_3$이라 하자. 점 $\mathrm B_3$을 지나고 두 변 $\mathrm A_2\mathrm B_2$, $\mathrm B_2\mathrm C_2$에 동시에 접하는 원을 $O_2$라 하고, 원 $O_2$가 두 변 $\mathrm A_2\mathrm B_2$, $\mathrm B_2\mathrm C_2$에 접하는 점을 각각 $\mathrm P_2$, $\mathrm Q_2$라 할 때, 삼각형 $\mathrm B_3\mathrm P_2\mathrm Q_2$의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]